Dieser Artikel ist aus einem Posting im Open-End-Forum entstanden.

In zahlreichen Anwendungsfällen ist es nötig, das Frequenzspektrum eines Meßsignals zu kennen.
Als geeignetes analytisches Verfahren bietet sich die Fourieranalyse an. Damit ist es möglich, beliebige periodische Signale durch eine Summe von harmonischen Funktionen darzustellen.
Eine mathematische Realisierung dieses Lösungsansatzes ist die Fourier-Reihe. Mit ihrer Hilfe kann der Frequenzgehalt eines periodischen Signals in Form diskreter Spektrallinien dargestellt werden.
Das Signal wird innerhalb eines endlichen zeitlich begrenzten Intervalls (Periode) betrachtet.
Die Anwendung der Fourier-Reihe ist zulässig, solange tatsächlich ein zeitlich periodischer Wellenzug vorliegt.

Es ist zu erwarten, daß in der Praxis auch nicht-periodische Wellenzüge anzutreffen sind. Hier kann die Fourier-Reihe nicht eingesetzt werden, da die mathematischen Eingangsbedingungen bei der Definition der Fourier-Reihe verletzt sind.
Es muß daher nach anderen Verfahren gesucht werden, um auch reale Signalverläufe analysieren zu können.

Diese Forderung führt zum Fourier-Integral.
Mathematisch kann gezeigt werden, daß die Fourier-Reihe nur ein Spezialfall des Fourier-Integrals ist.
Die Fourier-Tranformation aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich setzt hier voraus, daß das Signal nicht periodisch ist (ein nichtperodisches Signal ist mathematisch ein Signal mit unendlich langer Periodendauer).
Das Signal wird nun innerhalb eines wachsenden, bis unendlich gehenden Intervalls betrachtet.
Die diskreten Spektrallinien bei endlicher Periode und daher festgelegtem Intervall (Fourier-Reihe) gehen mit wachsendem Intervall (Fourier-Integral) in ein kontinuierliches Spektrum über und implizieren, daß ein einzelner Puls (unser Signal) aus einer unendlichen Zahl von Sinuskomponenten besteht.

Auch die Transformation von periodischen Wellenzügen ist durchführbar.
Man verwendet hier einen Trick, um das Signal im streng-mathematischen Sinn nicht-periodisch zu machen.
Das von (-unendlich) bis (+unendlich) periodische Signal wird nur über ein endliches Intervall (Zeitfenster) beobachtet und ist dann nicht mehr über ein unendliches Zeitfenster im mathematischen Sinn periodisch.

Bei der Betrachtung der mathematischen Defintion des Fourier-Integrals erkennt man, daß die Integrationsgrenzen von (-unendlich) bis (+unendlich) festgelegt sind. Diese Transformationsbeziehungen bedeuten, daß unser Meßsignal eine unendlich lange Zeit beobachtet und integriert werden muß. Die Tatsache der unendlich langen Integrationszeit würde ein unendlich hohes Frequenzauflösungsvermögen beinhalten. Diese technisch sehr interessante Eigenschaft läßt sich jedoch in der Realität nicht ausnutzen. In der Praxis stehen nur begrenzte Zeiträume für die Signalintegration zur Verfügung.

Als Folge der Einschränkung auf endliche Integrationszeiten verwendet man eine abgewandelte Form der Transformation, die als diskrete Fourier-Transformation (DFT) bezeichnet wird und insbesondere für die Analyse diskret abgetaster Signale geeignet ist.

Im Unterschied zur Fourier-Reihe und Fourier-Transformation arbeitet die DFT (und FFT) mittels endlicher Sätze von Daten, die äquidistant über die Beobachtungsperiode verteilt sind. Bei der Anwendung der DFT wird das zu transformierende Signal unter Beachtung des Abtast-Theorems abgetastet und dann segmentweise der Transformation unterworfen (und dadurch periodisiert).
Die DFT hat aufgrund der endlichen Integrationszeit ein begrenztes Auflösungsvermögen.
Das Frequenzspektrum einer Sinusfunktion wird nicht mehr durch diskrete Linien (Dirac-Impulse) dargestellt, sondern ist dann eine kontinuierliche Funktion und besteht aus einer "Hauptkeule" mit mehreren "Nebenkeulen". D.h., mit der DFT können Amplitude und Frequenz einer periodischen Funktion nur näherungsweise dargestellt.
Eine Verschmälerung der "Hauptkeule" und hieraus resultierend eine Verbesserung des Auflösungsvermögens ist möglich, wenn die Abtastrate erhöht wird. Die Erhöhung der Abtastrate entspricht einer Erweiterung der Integrationsgrenzen des Transformationsintegral.

Die Güte der Transformation ist an die zeitliche Lage des Beobachtungsfenster gekoppelt. Das digitalisierte Signal wird mit der Abtastfrequenz moduliert und zusätzlich durch die Multiplikation mit einer Rechteckfunktion zeitbegrenzt.
Ein (nichtperiodischer) Puls kann bei passender Wahl des Zeitfensters komplett integriert werden, da er in der Regel innerhalb des Zeitfensters bei 0 startet und bei 0 endet, während ein z.B. periodisches Signal (oder alle anderen länger andauernden Meßsignale) zwangsweise durch entsprechende Fensterfunktionen gekappt, bzw. sogar noch zusätzlich am Anfang und Ende des Fensters auf 0 heruntergefahren werden muß.

Dies wird dann nötig, wenn bei der Abtastung von periodischen zeitbegrenzten Funktionen die Zeitbegrenzung nicht aus einem ganzzahligem Vielfachen der Periode der ursprünglichen Funktion besteht.
Die einzelnen abgetasteten Segmente passen hinterher nicht mehr nahtlos zusammen und ein sog. "Leck-Effekt" entsteht mit stark ausgeprägten "Nebenkeulen" im Spektrum.
Zur Abschwächung dieser sind spezielle Fensterfunktionen ((Hanning, Hamming usw.) geeignet.
Je nach gewünschtem Meßergebnis muß hier bei der Fensterfunktion eine Auswahl getroffen werden:
- entweder große Amplitudengenauigkeit des Hauptspektrums und geringe Dämpfung der "Nebenkeulen"
- oder große Dämpfung der Nebenkeulen und große Amplitudendämpfung.

Neben der Dämpfung der unerwünschten "Nebenkeulen" wird die gesuchte nichtverschwindende Frequenzkomponente verbreitert. Generell kann man mit einer zunehmenden Verschmierung der gesuchten Frequenzkomponente rechnen, je mehr die Amplituden der "Nebenkeulen" im Frequenzbereich bedämpft werden.

Fast Fourier Transformation (FFT)
Die Integrale der Fourier-Transformation werden mittels Summen approximiert. Um n Koeffizienten dieser Folge zu berechnen, benötigt man bei der konventionellen DFT (n * n) Operationen. Der FFT-Algorithmus benötigt nur (n* log(2n) Operationen und ist daher deutlich schneller und kann daher dank moderener Rechentechnik in quasi "Realtime" eine Spektrumanalyse durchführen.

Zum Thema "Linearität":
Für die DFT ist es unerheblich, ob das Antwortsignal nichtlineare Artefakte des Prüfobjekts beinhaltet. Sie wird sie einfach mitdarstellen.
Aus diesem Grund funktioniert zB. auch Klirr- und IM-Analyse mit der DFT als typische Darstellung nichtlinearer Verzerrungen.

Richtig nichtlinear wird es erst dann, wenn Anteile der Signalantwort, die in keiner kausalen Beziehung zum Eingangssignal bzw. Prüfobjekt stehen, mitverarbeitet werden.

Typisches Beispiel: Netzbrumm durch schlechte Kabelführung, oder bei akustischen Messungen Außenlärm (z.B. vorbeifahrende Lastwagen).

Kritisch wird es aber auch erst dann, wenn Weiterberechnungen gemacht werden müssen, um eine vollständige Systembeschreibung zu erhalten, mit Hilfe derer aus allen möglichen Eingangssignalen die entsprechenden Antwortsignale des Systems berechnet werden können.
Hier ist natürlich absolute Linearität bzw. Kausalität zwischen Eingang- und Ausgangssignal nötig.
Mit Hilfe z.B. der Kohärenzfunktion ist eine Überprüfung dieser Linearität möglich und bei Bedarf werden eben nichtlineare Bereiche im Spektrum nicht berücksichtigt.

Am besten dieses pdf runterladen, ausdrucken und beim Lesen des Postings neben den Rechner legen.
Erleichtert vielleicht das Verständnis.